㈠ （矩阵算法5）矩阵的Gram_Schmidt 正交化与基于其的一种QR分解
矩阵的Gram_Schmidt 正交化是将一组基转换为一组标准正交基的过程。在二维平面上，已知向量A和向量B，我们希望将它们转换为一组正交向量。通过计算向量B与A的内积，我们可以找到向量B在A上的投影。然后将向量B减去其在A上的投影，得到的新向量C即与A正交。通过递归的方式，我们能够将一组基转换为一组正交基。
将一组基转换为正交基的方法如下：首先，我们选择一个基向量作为新的正交基向量。然后，我们对下一个基向量进行处理，计算它在当前正交基向量上的投影，并从原向量中减去这部分投影，以确保新向量与当前正交基向量正交。重复此过程直到处理完所有基向量。
以下是一个程序实现：vecmtr为向量类，vecteam为向量组类。在完成正交化后，我们还需要进行单位化，即将每个向量除以其长度，得到单位向量。
在欧氏空间中，向量的长度定义为向量的模。单位向量的长度为1，因此只需将向量除以其长度即可得到单位向量。
基于矩阵Gram_Schmidt 正交化，我们可以实现QR分解，即将矩阵分解为正交矩阵Q与三角矩阵R的乘积。首先，我们将矩阵的列向量进行正交化处理，得到单位正交矩阵Q。然后，通过计算Q与原矩阵的乘积，我们得到上三角矩阵R。通过这种方式，我们成功地将原矩阵分解为了正交矩阵与三角矩阵的乘积。
以下是代码实现：将原矩阵分块成列向量，并将正交化过程以矩阵的形式表示。单位化后，我们得到的矩阵与原矩阵相乘即得到上三角矩阵。通过这种方式，我们实现了矩阵的QR分解。
接下来，我将尝试理解QR分解迭代法得到矩阵相似对角矩阵的原理，同时介绍另一种QR分解方法—采用Householder矩阵进行的QR分解。
㈡ matlab有多少api函数
matlab有多少api函数，因为数量很多，而且不同版本的函数数量也或许不一样，因为会把常用的需求去添加成新的api函数，不完全统计，matlab的api函数不少于420个。
例如，下面列举其中的一部分较为常用的api函数。
1.
sym函数--定义符号矩阵
2.
syms函数--定义矩阵的又一函数
3.
sym的另一职能--把数值矩阵转化成相应的符号矩阵
4.
cat函数--创建多维数组
5.
zeros函数--零矩阵的生成
6.
eye函数--单位矩阵的生成
7.
ones函数--生成全1阵
8.
rand函数--生成均匀分布随机矩阵
9.
randn函数--生成正态分布随机矩阵
10.
randperm函数--产生随机序列
11.
linspace函数--线性等分向量的生成
12.
logspace函数--产生对数等分向量
13.
blkdiag函数--产生以输入元素为对角线元素的矩阵
14.
compan函数--生成友矩阵
15.
hankel函数--生成Hankel方阵
16.
hilb函数--生成Hilbert(希尔伯特)矩阵
17.
invhilb函数--逆Hilbert矩阵生成
18.
pascal函数--生成Pascal矩阵
19.
toeplitz函数--生成托普利兹矩阵
20.
wilkinson函数--生成Wilkinson特征值测试阵
21.
dot函数--向量的点积
22.
cross函数--向量叉乘
23.
conv函数--矩阵的卷积和多项式乘法
24.
deconv函数--反褶积(解卷)和多项式除法运算
25.
kron函数--张量积
26.
intersect函数--求两个集合的交集
27.
ismember函数--检测集合中的元素
28.
setdiff函数--求两集合的差
29.
setxor函数--求两个集合交集的非(异或)
30.
union函数--求两集合的并集
31.
unique函数--取集合的单值元素
32.
expm函数--方阵指数函数
33.
logm函数--求矩阵的对数
34.
funm函数--方阵的函数运算
35.
sqrtm函数--矩阵的方根
36.
polyvalm函数--求矩阵的多项式
37.
det函数--求方阵的行列式
38.
inv函数--求矩阵的逆
39.
pinv函数--求矩阵的伪逆矩阵
40.
trace函数--矩阵的迹
41.
norm函数--求矩阵和向量的范数
42.
cond函数--求矩阵的条件数
43.
condest函数--1-范数的条件数估计
44.
rcond函数--矩阵可逆的条件数估值
45.
condeig函数--特征值的条件数
46.
rank函数--矩阵的秩
47.
diag函数--矩阵对角线元素的抽取
48.
tril函数--下三角阵的抽取
49.
triu函数--上三角阵的抽取
50.
reshape函数--矩阵变维
51.
rot90函数--矩阵旋转语法说明
52.
fliplr函数--矩阵的左右翻转
53.
flipud函数--矩阵的上下翻转
54.
flipdim函数--按指定维数翻转矩阵
55.
repmat函数--复制和平铺矩阵
56.
rat函数--用有理数形式表示矩阵
57.
rem函数--矩阵元素的余数
58.
sym函数--数值矩阵转化为符号矩阵
59.
factor函数--符号矩阵的因式分解
60.
expand函数--符号矩阵的展开
61.
simple或simplify函数--符号简化
62.
numel函数--确定矩阵元素个数
63.
chol函数--Cholesky分解
64.
lu函数--LU分解
65.
qr函数--QR分解
66.
qrdelete函数--从QR分解中删除列
67.
qinsert函数--从QR分解中添加列
68.
schur函数--Schur分解
69.
rsf2csf函数--实Schur向复Schur转化
70.
eig函数--特征值分解
71.
svd函数--奇异值分解
72.
gsvd函数--广义奇异值分解
73.
qz函数--特征值问题的QZ分解
74.
hess函数--海森伯格形式的分解
75.
null函数--求线性齐次方程组的通解
76.
symmlq函数--线性方程组的LQ解法
77.
bicg函数--双共轭梯度法解方程组
78.
bicgstab函数--稳定双共轭梯度方法解方程组
79.
cgs函数--复共轭梯度平方法解方程组
80.
lsqr函数--共轭梯度的LSQR方法
81.
qmres函数--广义最小残差法
82.
minres函数--最小残差法解方程组
83.
pcg函数--预处理共轭梯度方法
84.
qmr函数--准最小残差法解方程组
85.
cdf2rdf函数--复对角矩阵转化为实对角矩阵
86.
orth函数--将矩阵正交规范化
87.
sparse函数--创建稀疏矩阵
88.
full函数--将稀疏矩阵转化为满矩阵
89.
find函数--稀疏矩阵非零元素的索引
90.
spconvert函数--外部数据转化为稀疏矩阵
91.
spdiags函数--生成带状(对角)稀疏矩阵
92.
speye函数--单位稀疏矩阵
93.
sprand函数--稀疏均匀分布随机矩阵
94.
sprandn函数--生成稀疏正态分布随机矩阵
95.
sprandsym函数--稀疏对称随机矩阵
96.
nnz函数--返回稀疏矩阵非零元素的个数
97.
nonzeros函数--找到稀疏矩阵的非零元素
98.
nzmax函数--稀疏矩阵非零元素的内存分配
99.
spfun函数--稀疏矩阵的非零元素应用
100.
spy函数--画稀疏矩阵非零元素的分布图形
101.
colmmd函数--稀疏矩阵的排序
102.
colperm函数--非零元素的列变换
103.
dmperm函数--Dulmage-Mendelsohn分解
104.
randperm函数--整数的随机排列
105.
condest函数--稀疏矩阵的1-范数
106.
normest函数--稀疏矩阵的2-范数估计值
107.
luinc函数--稀疏矩阵的分解
108.
eigs函数--稀疏矩阵的特征值分解
109.
sin和sinh函数--正弦函数与双曲正弦函数
110.
asin、asinh函数--反正弦函数与反双曲正弦函数
111.
cos、cosh函数--余弦函数与双曲余弦函数
112.
acos、acosh函数--反余弦函数与反双曲余弦函数
113.
tan和tanh函数--正切函数与双曲正切函数
114.
atan、atanh函数--反正切函数与反双曲正切函数
115.
cot、coth函数--余切函数与双曲余切函数
116.
acot、acoth函数--反余切函数与反双曲余切函数
117.
sec、sech函数--正割函数与双曲正割函数
118.
asec、asech函数--反正割函数与反双曲正割函数
119.
csc、csch函数--余割函数与双曲余割函数
120.
acsc、acsch函数--反余割函数与反双曲余割函数
121.
atan2函数--四象限的反正切函数
122.
abs函数--数值的绝对值与复数的幅值
123.
exp函数--求以e为底的指数函数
124.
expm函数--求矩阵以e为底的指数函数
125.
log函数--求自然对数
126.
log10函数--求常用对数
127.
sort函数--排序函数
128.
fix函数--向零方向取整
129.
roud函数--朝最近的方向取整
130.
floor函数--朝负无穷大方向取整
131.
rem函数--求余数
132.
ceil函数--朝正无穷大方向取整
133.
real函数--复数的实数部分
134.
imag函数--复数的虚数部分
135.
angle函数--求复数的相角
136.
conj函数--复数的共轭值
137.
complex函数--创建复数
138.
mod函数--求模数
139.
nchoosek函数--二项式系数或所有的组合数
140.
rand函数--生成均匀分布矩阵
141.
randn函数--生成服从正态分布矩阵
142.
interp1函数--一维数据插值函数
143.
interp2函数--二维数据内插值
144.
interp3函数--三维数据插值
145.
interpn函数--n维数据插值
146.
spline函数--三次样条插值
147.
interpft函数--用快速Fourier算法作一维插值
148.
spline函数--三次样条数据插值
149.
table1函数--一维查表函数
150.
table2函数--二维查表
151.
max函数--最大值函数
152.
min函数--求最小值函数
153.
mean函数--平均值计算
154.
median函数--中位数计算
155.
sum函数--求和
156.
prod函数--连乘计算
157.
cumsum函数--累积总和值
158.
cumprod函数--累积连乘
159.
quad函数--一元函数的数值积分
160.
quad8函数--牛顿?康兹法求积分
161.
trapz函数--用梯形法进行数值积分
162.
rat、rats函数--有理数近似求取
163.
dblquad函数--矩形区域二元函数重积分的计算
164.
quad2dggen函数--任意区域上二元函数的数值积分
165.
diff函数--微分函数
166.
int函数--积分函数
167.
roots函数--求多项式的根
168.
poly函数--通过根求原多项式
169.
real函数--还原多项式
170.
dsolve函数--求解常微分方程式
171.
fzero函数--求一元函数的零点
172.
size函数--符号矩阵的维数
173.
compose函数--复合函数运算
174.
colspace函数--返回列空间的基
175.
real函数--求符号复数的实数部分
176.
image函数--求符号复数的虚数部分
177.
symsum函数--符号表达式求和
178.
collect函数--合并同类项
179.
expand函数--符号表达式展开
180.
factor函数--符号因式分解
181.
simplify函数--符号表达式的化简
182.
numden函数--符号表达式的分子与分母
183.
double函数--将符号矩阵转化为浮点型数值
184.
solve函数--代数方程的符号解析解
185.
simple函数--求符号表达式的最简形式
186.
finverse函数--函数的反函数
187.
poly函数--求特征多项式
188.
poly2sym函数--将多项式系数向量转化为带符号变量的多项式
189.
findsym函数--从一符号表达式中或矩阵中找出符号变量
190.
horner函数--嵌套形式的多项式的表达式
191.
limit函数--求极限
192.
diff函数--符号函数导数求解
193.
int函数--符号函数的积分
194.
dsolve函数--常微分方程的符号解
195.
ezplot函数--画符号函数的图形
196.
ezplot3函数--三维曲线图
197.
ezcontour函数--画符号函数的等高线图
198.
ezcontourf函数--用不同颜色填充的等高线图
199.
ezpolar函数--画极坐标图形
200.
ezmesh函数--符号函数的三维网格图
201.
ezmeshc函数--同时画曲面网格图与等高线图
202.
ezsurf函数--三维带颜色的曲面图
203.
ezsurfc函数--同时画出曲面图与等高线图
204.
fourier函数--Fourier积分变换
205.
ifourier函数--逆Fourier积分变换
206.
laplace函数--Laplace变换
207.
ilaplace函数--逆Laplace变换
208.
ztrans函数--求z-变换
209.
iztrans函数--逆z-变换
210.
vpa函数--可变精度算法计算
211.
subs函数--在一符号表达式或矩阵中进行符号替换
212.
taylor函数--符号函数的Taylor级数展开式
213.
jacobian函数--求Jacobian矩阵
214.
jordan函数--Jordan标准形
215.
rsums函数--交互式计算Riemann
216.
latex函数--符号表达式的LaTex的表示式
217.
syms函数--创建多个符号对象的快捷函数
218.
maple函数--调用Maple内核
219.
mfun函数--Maple数学函数的数值计算
220.
mhelp函数--Maple函数帮助
221.
sym2poly函数--将符号多项式转化为数值多项式
222.
ccode函数--符号表达式的C语言代码
223.
fortran函数--符号表达式的Fortran语言代码
224.
binornd函数--二项分布的随机数据的产生
225.
normrnd函数--正态分布的随机数据的产生
226.
random函数--通用函数求各分布的随机数据
227.
pdf函数--通用函数计算概率密度函数值
228.
binopdf函数--二项分布的密度函数
229.
chi2pdf函数--求卡方分布的概率密度函数
230.
ncx2pdf函数--求非中心卡方分布的密度函数
231.
lognpdf函数--对数正态分布
232.
fpdf函数--F分布
233.
ncfpdf函数--求非中心F分布函数
234.
tpdf函数--求T分布
235.
gampdf函数--求Γ分布函数
236.
nbinpdf函数--求负二项分布
237.
exppdf函数--指数分布函数
238.
raylpdf函数--瑞利分布
239.
weibpdf函数--求韦伯分布
240.
normpdf函数--正态分布的概率值
241.
poisspdf函数--泊松分布的概率值
242.
cdf函数--通用函数计算累积概率
243.
binocdf函数--二项分布的累积概率值
244.
normcdf函数--正态分布的累积概率值
245.
icdf函数--计算逆累积分布函数
246.
norminv函数--正态分布逆累积分布函数
247.
sort函数--排序
248.
sortrows函数--按行方式排序
249.
mean函数--计算样本均值
250.
var函数--求样本方差
251.
std函数--求标准差
252.
nanstd函数--忽略NaN计算的标准差
253.
geomean函数--计算几何平均数
254.
mean函数--求算术平均值
255.
nanmean函数--忽略NaN元素计算算术平均值
256.
median函数--计算中位数
257.
nanmedian函数--忽略NaN计算中位数
㈢ 急求matlab复数矩阵QR分解代码我知道matlab本身有qr函数 但是我想知道利用householder变换递归实现的原理。
实Householder变换和复Householder变换没有本质区别，只不过是把H=I-2ww^T改成H=I-2ww^H
至于递归实现，只要对第一列进行消去后再递归就行了
㈣ R语言定义多维数组
R语言定义多维数组
数组有一个特征属性叫做维数向量（dim属性），维数向量是一个元素取正整数值的向量 ，其长度是数组的维数，比如维数向量有两个元素时数组为二维数组（矩阵）。维数向量的 每一个元素指定了该下标的上界，下标的下界总为1。
一组值只有定义了维数向量（dim属性）后才能被看作是数组。比如：
z <- 1:1500
dim(z) <- c(3, 5, 100)
这时z已经成为了一个维数向量为c(3,5,100)的三维数组。也可以把向量定义为一维数组 ，例如：
dim(z) <- 1500
数组元素的排列次序缺省情况下是采用FORTRAN的数组元素次序（按列次序），即第一下 标变化最快，最后下标变化最慢，对于矩阵（二维数组）则是按列存放。例如，假设数组a的 元素为1:24，维数向量为c(2,3,4)，则各元素次序为a[1,1,1], a[2,1,1], a[1,2,1], a[2,2,1], a[1,3,1], …, a[2,3,4]。
用函数array()或matrix()可以更直观地定义数组。array()函数的完全使用为array(x, dim=length(x), dimnames=NULL)，其中x是第一自变量，应该是一个向量，表示数组的元素 值组成的向量。dim参数可省，省略时作为一维数组（但不同于向量）。dimnames属性可以省 略，不省略时是一个长度与维数相同的列表（list，见后面），列表的每个成员为一维的名 字。例如上面的z可以这样定义：
z <- array(1:1500, dim=c(3,5,100))
函数matrix()用来定义最常用的一种数组：二维数组，即矩阵。其完全格式为 matrix(data = NA, nrow = 1, ncol = 1, byrow = FALSE, dimnames = NULL)
矩阵运算
矩阵是二维数组，但因为其应用广泛所以对它定义了一些特殊的运算和操作。
函数t(A)返回矩阵A的转置。nrow(A)为矩阵A的行数，ncol(A)为矩阵A的列数。
矩阵之间进行普通的加减乘除四则运算仍遵从一般的数组四则运算规则，即数组的对应元 素之间进行运算，所以注意A*B不是矩阵乘法而是矩阵对应元素相乘。
要进行矩阵乘法，使用运算符%%，A%%B表示矩阵A乘以矩阵B（当然要求A的列数等于B的 行数）。例如：
A <- matrix(1:12, nrow=4, ncol=3, byrow=T)
B <- matrix(c(1,0), nrow=3, ncol=2, byrow=T)
A
[,1] [,2] [,3] [1,] 1 2 3 [2,] 4 5 6 [3,] 7 8 9 [4,] 10 11 12
B [,1] [,2] [1,] 1 0 [2,] 1 0 [3,] 1 0
A %*% B
[,1] [,2] [1,] 6 0 [2,] 15 0 [3,] 24 0 [4,] 33 0
另外，向量用在矩阵乘法中可以作为行向量看待也可以作为列向量看待，这要看哪一种观 点能够进行矩阵乘法运算。例如，设x是一个长度为n的向量，A是一个 R语言定义多维数组和数组的运算矩阵，则“x %% A %% x”表示二次型 R语言定义多维数组和数组的运算。但是，有时向量在矩阵乘法中的地位并不 清楚，比如“x %% x”就既可能表示内积 R语言定义多维数组和数组的运算也可能表示 R语言定义多维数组和数组的运算阵 R语言定义多维数组和数组的运算。因为前者较常用，所以S选择表示前者， 但内积最好还是用crossprod(x)来计算。要表示 R语言定义多维数组和数组的运算，可以用“cbind(x) %% x”或“x %*% rbind(x) ”。
函数crossprod(X, Y)表示一般的交叉乘积（内积） R语言定义多维数组和数组的运算，即X的每一列与Y的每一列的内积组成的矩 阵。如果X和Y都是向量则是一般的内积。只写一个参数X的crossprod(X)计算X自身的内积 R语言定义多维数组和数组的运算。
其它矩阵运算还有solve(A,b)解线性方程组 R语言定义多维数组和数组的运算，solve(A)求方阵A的逆矩阵，svd()计算奇 异值分解，qr()计算QR分解，eigen()计算特征向量和特征值