1. 功率谱是什么
功率谱
周期运动在功率谱中对应尖锋，混沌的特征是谱中出现"噪声背景"和宽锋。它是研究系统从分岔走向混沌的重要方法。 在很多实际问题中（尤其是对非线性电路的研究）常常只给出观测到的离散的时间序列X1, X2, X3,...Xn,那么如何从这些时间序列中提取前述的四种吸引子（零维不动点、一维极限环、二维环面、奇怪吸引子）的不同状态的信息呢？ 我们可以运用数学上已经严格证明的结论，即拟合。我们将N个采样值加上周期条件Xn+i=Xi，则自关联函数（即离散卷积）为 然后对Cj完成离散傅氏变换，计算傅氏系数。 Pk说明第k个频率分量对Xi的贡献，这就是功率谱的定义。当采用快速傅氏变换算法后，可直接由Xi作快速傅氏变换，得到系数 然后计算 ，由许多组{Xi}得一批{Pk'}，求平均后即趋近前面定义的功率谱Pk。 从功率谱上，四种吸引子是容易区分的，如图12 (a)，(b)对应的是周期函数，功率谱是分离的离散谱 (c)对应的是准周期函数，各频率中间的间隔分布不像(b)那样有规律。 (d)图是混沌的功率谱，表现为"噪声背景"及宽锋。 考虑到实际计算中，数据只能取有限个，谱也总以有限分辨度表示出来，从物理实验和数值计算的角度看，一个周期十分长的解和一个混沌解是难于区分的，这也正是功率谱研究的主要弊端。
2. 信号处理的功率谱分析（二）
上文链接：
信号处理的功率谱分析（一）
现在，事情就变得简单了，我们将属于时域信号进行傅立叶变换，得到频域分内，然后平方积分即可以得到功率谱密度。
但是我们在上面章节分析过，当信号为功率信号时，傅立叶变换不存在。 既然为什么随机信号的一次 FFT 没有意义却还能( 傅立叶变换的平方)/( 区间长度) 得到功率谱？
因为对随机信号直接做FFT的做法其实就是截断成能量信号进行处理，这种处理不符合随机信号定义，但之所以这样做，是做短时频域分析下作的近似处理。
（在工程实际中，即便是功率信号，由于持续的时间有限，可以直接对信号进行傅里叶变换，然后对得到的幅度谱的模求平方，再除以持续时间来估计信号的功率谱。）
从理论上来说，功率谱是信号自相关函数的傅里叶变换。因为功率信号不满足傅里叶变换的条件，其频谱通常不存在，维纳-辛钦定理证明了自相关函数和傅里叶变换之间对应关系。
1）自相关是做什么的
这里我们先看引入的自相关的概念：
对于上面两段话不是很理解的，可以看下面两幅图，分别是白噪声随机信号和随机相位正弦信号及其自相关信号：
2）自相关和功率谱的关系
说了这么多，和我们要进行功率谱分析有什么关系？前面我们分析了，信号的功率在时域和频域都是满足守恒定律的。
而功率被定义成幅值的平方的时间平均分量，而这个过程，也可以看成是去除频域谐波分量的相位信息的过程，因为本质来说，一个简谐信号的相位是不影响其功率的。 而自相关函数，也具有去除信号相位的功能，那自相关函数和功率密度谱是不是有什么深刻的联系呢？答案是肯定的，那就是维纳 - 辛钦定理（Wiener –Khinchin
theorem ），这个定理表明：信号的自相关函数与功率密度谱是一对傅里叶变换对：
实际的功率谱计算中，总是取一个截断，然后根据截断对总体做估计。
功率谱方法可以分为两种，直接法和间接法。直接法也称为周期图法，它是直接对有限个样本数据进行傅里叶变换来得到功率谱。样本数据越长，直接法获得的分辨率越高。间接法则是先对有限个样本数据进行自相关估计，再进行傅里叶变换，最后得到功率谱。
matlab中自功率谱密度直接用psd函数就可以求，按照matlab的说法，psd能实现Welch法估计，即相当于用改进的平均周期图法来求取随机信号的功率谱密度估计。
可以参考资料【14】里的matlab函数
[1] https://zhuanlan.hu.com/p/22513006 各种谱函数的区别是什么，何时用何种函数？
[2] https://blog.csdn.net/scuthanman/article/details/5588138?utm_medium=distribute.pc_relevant_t0.none-task-blog--1.nonecase&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant_t0.none-task-blog--1.nonecase 自相关与互相关在matlab中实现
[3] https://zhuanlan.hu.com/p/40481049 如何理解随机振动的功率谱密度？
[4] https://www.hu.com/question/39592966/answer/875419230 如何理解功率信号和能量信号
[5] https://zhuanlan.hu.com/p/22571798 谱线是怎样影响随机信号和周期信号的PSD或自谱的
[6] https://blog.csdn.net/fengzhuqiaoqiu/article/details/101153157 能量信号和功率信号的分别
[7] https://www.cnblogs.com/l20902/p/10610962.html 能量谱密度功率谱密度
[8] https://my.oschina.net/wangsifangyuan/blog/875891 功率谱和频谱的区别、联系
[9] https://blog.csdn.net/FPGADesigner/article/details/88532027 MATLAB数字信号处理（1）四种经典功率谱估计方法比较
[10] https://zhuanlan.hu.com/p/143545782 数字信号处理：功率谱估计的对比分析
[11] https://blog.csdn.net/jiahei/article/details/80233999 功率谱密度函数估计
[12]《概率论与数理统计》第四版——第十四章平稳随机过程
[13] https://www.hu.com/question/68698069/answer/275980099 为什么随机信号不能用频谱表示？而必须用功率谱、密度表示呢？
[14] https://wenku..com/view/.html?fr=search matlab实现功率谱密度分析psd及详细解说
3. 如何在频谱分析仪或矢量信号分析仪上测量功率谱密度(PSD)
PSD 测量值通常以Vrms2 /Hz 或Vrms/rt Hz 为单位（这里的rt Hz 指的是平方根赫兹）。或者，PSD也可以采用dBm/Hz 为单位。PSA、ESA、856XE/EC 或859XE 等频谱分析仪均可通过噪声标记对功率谱密度进行测量。矢量信号分析仪比如89600S 或89400，直接就有PSD 测量数据类型。在频谱分析仪上最简便的测量方法（测量结果以Vrms/rt Hz 为单位）就是：在振幅菜单中选择以伏特为单位的振幅(AMPLITUDE [硬键] > More > Y Axis Units > Volts)。在标记或标记功能菜单中打开噪声标记（例如：在ESA 上的选择顺序为Marker [硬键] > More > Function> Marker Noise）。在期望的数据点上做出标记并观察标记读数。比如，我们看到噪声标记读数为16 uV(Hz)或16 uV/Hz。这里的“(Hz)”由于分子伏特不能被平方，而将噪声结果归一化为1Hz 带宽(RBW)，其正确的分母单位应该是根赫兹。由于 1Hz 的平方根仍旧是1Hz，因此并不影响结果且无需进行进一步计算。最后答案就是16 uV/rt Hz 或16 uV/Hz。 您还可选择以分贝为单位的振幅（比如dBuV）进行进一步的计算，从而获得线性结果。同样以
4. 在工程中对功率谱密度进行测量有何应用
9.2.5 功率密度谱 和互谱密度 前面给出的一些数字特征如均值，方差和相关函数等，描述的是连续随机信号在时间域上的特征，那么，随机信号在频域的数字特征是什么？如何计算的？它与时域特征有什么关系？1、功率密度谱 设X(t)为平稳的连续随机信号，它的任一个样本函数x(t)是一个功率信号，其平均功率可以定义为： （9.2.20） 依据帕斯瓦尔定理，设 表示 的傅立叶变换，则上式可表示为 (9.2.21) 式中 称为样本功率密度或样本功率谱。由于随机信号的每一个样本实现是不能预知的，所以必须用所有样本功率密度的统计平均值来描述平稳的连续随机信号X(t)的频域特征，即随机信号在频域的数字特征可定义如下。定义10 平稳的连续随机信号X(t)的功率密度谱定义为样本功率密度的统计平均，即 （9.2.22）维纳—欣钦（Wiener-Khinchine）定理 若X(t)为平稳随机信号，当自相关函数为绝对可积时，自相关函数 和功率谱密度 为一傅里叶变换对，即（ ）。 （9.2.23） (9.2.24)2、互谱密度 同理，在频域描述两个随机信号X(t)和 Y(t)相互关联程度的数字特征，可以定义为互谱功率密度简称互谱密度 。
5. 10-11:功率谱估计及频率分辨率
对于周期信号，信号的频率等于 ， 为周期，就是完成往复运动一次所需的时间。频率是单位时间内某事件重复发生的次数，频率 赫兹。 大，说明相同时间内事件重复发生的次数少，即频率 小。那么在DFT中，信号的频率是什么呢？
假如我要开始对脉搏信号进行采集，我每隔0.02s（即时域采集间隔 ）采集一次，一共采集了 （采样点数）个点，那么我采集这 一共花了 长的时间，我们认为这一段信号的时域长度为 。那么这一段信号的频率上限为 （即采样频率）。根据采样定理，采样频率要大于信号频率的两倍。
一直对FFT理解不到位，学习 相关材料 后梳理一下。
一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。 个采样点，经过FFT之后，就可以得到 个点的FFT结果（ 常取2的整数次方）。假设采样频率为 ，信号频率 ，采样点数为 。那么FFT之后结果就是一个为 点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。
【结论】假设原始信号的峰值为 ，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是 的 倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的 倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即 ），而最后一个点则表示采样频率 ，这中间被 个点平均分成 等份，每个点的频率依次增加，点 所表示的频率为： 。由此可见， 所能分辨到频率为 。
【根据FFT结果反推原信号的幅值、频率和相位】假设FFT之后某点 用复数 表示，那么这个复数的模就是 ，相位就是 。根据以上的结果，就可以计算出 点（ ，且 ）对应的信号的表达式为： 即 。对于 点的信号，是直流分量，幅度即为 。
由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。
【动手实践】 假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量和两个交流分量，一个是频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，另一个是一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。
式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
【总结】假设采样频率为 ，采样点数为 ，做FFT之后，某一点 （ 从0开始）表示的频率为： ；该点的模值除以 就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以 ）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。要精确到 ，则需要采样长度为 秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数。比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
【第一种理解】频率分辨率的定义是DFT频域相邻刻度之间的实际频率之差。设 表示频率分辨率， ，就相当于把 分成 等分。
如果采样频率 为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到 。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是 秒，也就是说，在这个情况下采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间 。在采样频率一定情况下，频率分辨率和采样时间是倒数关系即 。在采样频率一定情况下，采样点数的多少与要求多大的频率分辨率有关，同时还要考虑频率畸形和信号截断而产生泄露的问题。
【第二种理解】频率分辨率是指所用的算法（如功率谱估计）能将信号中两个靠得很近的谱峰保持分开的能力，是用来比较和检验不同算法性能好坏的指标。
（ 相关资料 ）每次FFT变换只能对有限长度的时域数据进，行变换，因此，需要对时域信号进行信号截断。信号截断有两种，一种是周期截断，一种是非周期截断，哪怕原始信号是周期信号。若周期截断，则FFT频谱为单一谱线，得到的频率成分为原始信号的真实频率，并且幅值与原始信号的幅值相等。
若为非周期截断，截断后的信号起始时刻和结束时刻的幅值不等，将这个信号再进行重构，在连接处信号的幅值不连续，出现跳跃；对截断后的信号做FFT，频谱出现拖尾，峰值处的频率与原始信号的频率相近，但并不相等。另一方面，峰值处的幅值已不再等于原始信号的幅值，为原始信号幅值的64%（矩形窗的影响）。而幅值的其他部分（36%幅值）则分布在整个频带的其他谱线上。拖尾现象这种非常严重的误差，称为泄漏，是数字信号处理所遭遇的最严重误差。现实世界中，在做FFT分析时，很难保证截断的信号为周期信号，因此，泄漏不可避免。为了将这个泄漏误差减少到最小程度（注意是减少，而不是消除），我们需要使用加权函数，也叫窗函数。加窗主要是为了使时域信号似乎更好地满足FFT处理的周期性要求，减少泄漏。非周期截断的信号与窗函数相乘得到的信号起始点与最末点达到相同（比如都为0），变成一个类似周期截断的信号。窗函数只能减少泄漏，不能消除泄漏。
上节 关于功率谱估计的部分有一点错误，我没有理解分段加窗函数的含义。分段之后，需要补0至和原先信号一样长，这就相当于每小段加矩形窗，矩形窗不仅有1值还有0值。在连续的世界里非常理所当然的事情，在离散的世界里就发生了变化。如果不补0到原来长度，频率分辨率就大大降低了。
这里我重新用经典的四种方法（直接法、间接法、Bartlett法和Welch法）来处理一个随机信号。信号表示如下： 采样频率是3倍的最大频率，采样点数是1024点。四种功率谱估计的结果如下图所示：
同时，试了一下对Welch法换了一下汉明窗和汉宁窗看看效果。如下所示。可以看到比矩形窗要更平滑一些了。
如何能分辨两个很近的峰，如何能准确表征一个峰的频率？
频率分辨率 ， 是频率之间间隔，越小分辨频率的能力越强。理论上在满足采样定理的情况下，减小采样频率，增大采样点数可以增大频率分辨能力。这些都做不到的情况下，还可以在后面补0类似于增大采样点数。
我实验测试之后发现，减小采样频率增大采样点数，确实比之前分辨能力更强了。在较大采样频率和较小采样点数的情况下，相近的两个频率混在一个峰上了。
【10月12日批注】今天请教老师后，原来频率分辨率只是跟信号时间长度有关。我在实验时同时减小采样频率增大采样点数才误以为减小采样频率也会有用。Amazing！
6. 桥梁动载实验竖横向功率谱密度图怎么看
桥梁动载实验一般要测量一些物理、力学参量，诸如：加速度、力、应力、变形等。之后通过数据处理可以得到相应的功率谱密度函数曲线：其横坐标为频率、纵坐标为被测试的物理量量纲的平方除以频率。功率谱曲线下的面积为被测试物理量的总方差。这个总方差越大，表明动载越大！功率谱曲线的峰值对应的频率，或说是峰值频率表示在那个频率下动载很大！大的动载是由两个原因造成的：一是外载荷特性；二是桥梁的固有特性。当外载频率与桥梁某一个固有频率重合(即共振)时，将引起灾难性的后果！如果你要研究桥梁的使用寿命(由动载造成的)还需分析与功率谱曲线对应的均方频率及"过零"次数等等。总之“法无定法”，看科研的需要、看市场的需要，看功率谱与“产品”的质量指标的关系，明确了这些你就会千方百计地去‘榨取’隐含在功率谱曲线中的信息，或者激发你的创造性研究新的理论和方法。
7. 计算功率谱的经典方法和现代方法都有哪些具体点
计算功率谱的经典方法和现代方法都有哪些?
1)经典方法：先根据时间历程函数x(t)，算出它的相关函数φxx(τ)，再对相关函数作傅立叶变
换，得到功率谱：Φxx(w)；
2)现代方法：就是直接对原始数据 x(t) 作FFT，得到傅立叶谱：X(jf) 之后再计算：|X(jw)|²/T
就得到功率谱： Φxx(w) = |X(jw)|²/T
3)计算互谱的方法与上述方法类似。