1. 功率譜是什麼
功率譜
周期運動在功率譜中對應尖鋒，混沌的特徵是譜中出現"雜訊背景"和寬鋒。它是研究系統從分岔走向混沌的重要方法。 在很多實際問題中（尤其是對非線性電路的研究）常常只給出觀測到的離散的時間序列X1, X2, X3,...Xn,那麼如何從這些時間序列中提取前述的四種吸引子（零維不動點、一維極限環、二維環面、奇怪吸引子）的不同狀態的信息呢？ 我們可以運用數學上已經嚴格證明的結論，即擬合。我們將N個采樣值加上周期條件Xn+i=Xi，則自關聯函數（即離散卷積）為 然後對Cj完成離散傅氏變換，計算傅氏系數。 Pk說明第k個頻率分量對Xi的貢獻，這就是功率譜的定義。當採用快速傅氏變換演算法後，可直接由Xi作快速傅氏變換，得到系數 然後計算 ，由許多組{Xi}得一批{Pk'}，求平均後即趨近前面定義的功率譜Pk。 從功率譜上，四種吸引子是容易區分的，如圖12 (a)，(b)對應的是周期函數，功率譜是分離的離散譜 (c)對應的是准周期函數，各頻率中間的間隔分布不像(b)那樣有規律。 (d)圖是混沌的功率譜，表現為"雜訊背景"及寬鋒。 考慮到實際計算中，數據只能取有限個，譜也總以有限分辨度表示出來，從物理實驗和數值計算的角度看，一個周期十分長的解和一個混沌解是難於區分的，這也正是功率譜研究的主要弊端。
2. 信號處理的功率譜分析（二）
上文鏈接：
信號處理的功率譜分析（一）
現在，事情就變得簡單了，我們將屬於時域信號進行傅立葉變換，得到頻域分內，然後平方積分即可以得到功率譜密度。
但是我們在上面章節分析過，當信號為功率信號時，傅立葉變換不存在。 既然為什麼隨機信號的一次 FFT 沒有意義卻還能( 傅立葉變換的平方)/( 區間長度) 得到功率譜？
因為對隨機信號直接做FFT的做法其實就是截斷成能量信號進行處理，這種處理不符合隨機信號定義，但之所以這樣做，是做短時頻域分析下作的近似處理。
（在工程實際中，即便是功率信號，由於持續的時間有限，可以直接對信號進行傅里葉變換，然後對得到的幅度譜的模求平方，再除以持續時間來估計信號的功率譜。）
從理論上來說，功率譜是信號自相關函數的傅里葉變換。因為功率信號不滿足傅里葉變換的條件，其頻譜通常不存在，維納-辛欽定理證明了自相關函數和傅里葉變換之間對應關系。
1）自相關是做什麼的
這里我們先看引入的自相關的概念：
對於上面兩段話不是很理解的，可以看下面兩幅圖，分別是白雜訊隨機信號和隨機相位正弦信號及其自相關信號：
2）自相關和功率譜的關系
說了這么多，和我們要進行功率譜分析有什麼關系？前面我們分析了，信號的功率在時域和頻域都是滿足守恆定律的。
而功率被定義成幅值的平方的時間平均分量，而這個過程，也可以看成是去除頻域諧波分量的相位信息的過程，因為本質來說，一個簡諧信號的相位是不影響其功率的。 而自相關函數，也具有去除信號相位的功能，那自相關函數和功率密度譜是不是有什麼深刻的聯系呢？答案是肯定的，那就是維納 - 辛欽定理（Wiener –Khinchin
theorem ），這個定理表明：信號的自相關函數與功率密度譜是一對傅里葉變換對：
實際的功率譜計算中，總是取一個截斷，然後根據截斷對總體做估計。
功率譜方法可以分為兩種，直接法和間接法。直接法也稱為周期圖法，它是直接對有限個樣本數據進行傅里葉變換來得到功率譜。樣本數據越長，直接法獲得的解析度越高。間接法則是先對有限個樣本數據進行自相關估計，再進行傅里葉變換，最後得到功率譜。
matlab中自功率譜密度直接用psd函數就可以求，按照matlab的說法，psd能實現Welch法估計，即相當於用改進的平均周期圖法來求取隨機信號的功率譜密度估計。
可以參考資料【14】里的matlab函數
[1] https://zhuanlan.hu.com/p/22513006 各種譜函數的區別是什麼，何時用何種函數？
[2] https://blog.csdn.net/scuthanman/article/details/5588138?utm_medium=distribute.pc_relevant_t0.none-task-blog--1.nonecase&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant_t0.none-task-blog--1.nonecase 自相關與互相關在matlab中實現
[3] https://zhuanlan.hu.com/p/40481049 如何理解隨機振動的功率譜密度？
[4] https://www.hu.com/question/39592966/answer/875419230 如何理解功率信號和能量信號
[5] https://zhuanlan.hu.com/p/22571798 譜線是怎樣影響隨機信號和周期信號的PSD或自譜的
[6] https://blog.csdn.net/fengzhuqiaoqiu/article/details/101153157 能量信號和功率信號的分別
[7] https://www.cnblogs.com/l20902/p/10610962.html 能量譜密度功率譜密度
[8] https://my.oschina.net/wangsifangyuan/blog/875891 功率譜和頻譜的區別、聯系
[9] https://blog.csdn.net/FPGADesigner/article/details/88532027 MATLAB數字信號處理（1）四種經典功率譜估計方法比較
[10] https://zhuanlan.hu.com/p/143545782 數字信號處理：功率譜估計的對比分析
[11] https://blog.csdn.net/jiahei/article/details/80233999 功率譜密度函數估計
[12]《概率論與數理統計》第四版——第十四章平穩隨機過程
[13] https://www.hu.com/question/68698069/answer/275980099 為什麼隨機信號不能用頻譜表示？而必須用功率譜、密度表示呢？
[14] https://wenku..com/view/.html?fr=search matlab實現功率譜密度分析psd及詳細解說
3. 如何在頻譜分析儀或矢量信號分析儀上測量功率譜密度(PSD)
PSD 測量值通常以Vrms2 /Hz 或Vrms/rt Hz 為單位（這里的rt Hz 指的是平方根赫茲）。或者，PSD也可以採用dBm/Hz 為單位。PSA、ESA、856XE/EC 或859XE 等頻譜分析儀均可通過雜訊標記對功率譜密度進行測量。矢量信號分析儀比如89600S 或89400，直接就有PSD 測量數據類型。在頻譜分析儀上最簡便的測量方法（測量結果以Vrms/rt Hz 為單位）就是：在振幅菜單中選擇以伏特為單位的振幅(AMPLITUDE [硬鍵] > More > Y Axis Units > Volts)。在標記或標記功能菜單中打開雜訊標記（例如：在ESA 上的選擇順序為Marker [硬鍵] > More > Function> Marker Noise）。在期望的數據點上做出標記並觀察標記讀數。比如，我們看到雜訊標記讀數為16 uV(Hz)或16 uV/Hz。這里的「(Hz)」由於分子伏特不能被平方，而將雜訊結果歸一化為1Hz 帶寬(RBW)，其正確的分母單位應該是根赫茲。由於 1Hz 的平方根仍舊是1Hz，因此並不影響結果且無需進行進一步計算。最後答案就是16 uV/rt Hz 或16 uV/Hz。 您還可選擇以分貝為單位的振幅（比如dBuV）進行進一步的計算，從而獲得線性結果。同樣以
4. 在工程中對功率譜密度進行測量有何應用
9.2.5 功率密度譜 和互譜密度 前面給出的一些數字特徵如均值，方差和相關函數等，描述的是連續隨機信號在時間域上的特徵，那麼，隨機信號在頻域的數字特徵是什麼？如何計算的？它與時域特徵有什麼關系？1、功率密度譜 設X(t)為平穩的連續隨機信號，它的任一個樣本函數x(t)是一個功率信號，其平均功率可以定義為： （9.2.20） 依據帕斯瓦爾定理，設 表示 的傅立葉變換，則上式可表示為 (9.2.21) 式中 稱為樣本功率密度或樣本功率譜。由於隨機信號的每一個樣本實現是不能預知的，所以必須用所有樣本功率密度的統計平均值來描述平穩的連續隨機信號X(t)的頻域特徵，即隨機信號在頻域的數字特徵可定義如下。定義10 平穩的連續隨機信號X(t)的功率密度譜定義為樣本功率密度的統計平均，即 （9.2.22）維納—欣欽（Wiener-Khinchine）定理 若X(t)為平穩隨機信號，當自相關函數為絕對可積時，自相關函數 和功率譜密度 為一傅里葉變換對，即（ ）。 （9.2.23） (9.2.24)2、互譜密度 同理，在頻域描述兩個隨機信號X(t)和 Y(t)相互關聯程度的數字特徵，可以定義為互譜功率密度簡稱互譜密度 。
5. 10-11:功率譜估計及頻率解析度
對於周期信號，信號的頻率等於 ， 為周期，就是完成往復運動一次所需的時間。頻率是單位時間內某事件重復發生的次數，頻率 赫茲。 大，說明相同時間內事件重復發生的次數少，即頻率 小。那麼在DFT中，信號的頻率是什麼呢？
假如我要開始對脈搏信號進行採集，我每隔0.02s（即時域採集間隔 ）採集一次，一共採集了 （采樣點數）個點，那麼我採集這 一共花了 長的時間，我們認為這一段信號的時域長度為 。那麼這一段信號的頻率上限為 （即采樣頻率）。根據采樣定理，采樣頻率要大於信號頻率的兩倍。
一直對FFT理解不到位，學習 相關材料 後梳理一下。
一個模擬信號，經過ADC采樣之後，就變成了數字信號。 個采樣點，經過FFT之後，就可以得到 個點的FFT結果（ 常取2的整數次方）。假設采樣頻率為 ，信號頻率 ，采樣點數為 。那麼FFT之後結果就是一個為 點的復數。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。
【結論】假設原始信號的峰值為 ，那麼FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是 的 倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的 倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即 ），而最後一個點則表示采樣頻率 ，這中間被 個點平均分成 等份，每個點的頻率依次增加，點 所表示的頻率為： 。由此可見， 所能分辨到頻率為 。
【根據FFT結果反推原信號的幅值、頻率和相位】假設FFT之後某點 用復數 表示，那麼這個復數的模就是 ，相位就是 。根據以上的結果，就可以計算出 點（ ，且 ）對應的信號的表達式為： 即 。對於 點的信號，是直流分量，幅度即為 。
由於FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小於采樣頻率一半的結果。
【動手實踐】 假設我們有一個信號，它含有2V的直流分量和兩個交流分量，一個是頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號，另一個是一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。
式中cos參數為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。
【總結】假設采樣頻率為 ，采樣點數為 ，做FFT之後，某一點 （ 從0開始）表示的頻率為： ；該點的模值除以 就是對應該頻率下的信號的幅度（對於直流信號是除以 ）；該點的相位即是對應該頻率下的信號的相位。要精確到 ，則需要采樣長度為 秒的信號，並做FFT。要提高頻率解析度，就需要增加采樣點數。比較簡單的方法是采樣比較短時間的信號，然後在後面補充一定數量的0，使其長度達到需要的點數，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。
【第一種理解】頻率解析度的定義是DFT頻域相鄰刻度之間的實際頻率之差。設 表示頻率解析度， ，就相當於把 分成 等分。
如果采樣頻率 為1024Hz，采樣點數為1024點，則可以分辨到 。1024Hz的采樣率采樣1024點，剛好是 秒，也就是說，在這個情況下采樣1秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點數，也即采樣時間 。在采樣頻率一定情況下，頻率解析度和采樣時間是倒數關系即 。在采樣頻率一定情況下，采樣點數的多少與要求多大的頻率解析度有關，同時還要考慮頻率畸形和信號截斷而產生泄露的問題。
【第二種理解】頻率解析度是指所用的演算法（如功率譜估計）能將信號中兩個靠得很近的譜峰保持分開的能力，是用來比較和檢驗不同演算法性能好壞的指標。
（ 相關資料 ）每次FFT變換只能對有限長度的時域數據進，行變換，因此，需要對時域信號進行信號截斷。信號截斷有兩種，一種是周期截斷，一種是非周期截斷，哪怕原始信號是周期信號。若周期截斷，則FFT頻譜為單一譜線，得到的頻率成分為原始信號的真實頻率，並且幅值與原始信號的幅值相等。
若為非周期截斷，截斷後的信號起始時刻和結束時刻的幅值不等，將這個信號再進行重構，在連接處信號的幅值不連續，出現跳躍；對截斷後的信號做FFT，頻譜出現拖尾，峰值處的頻率與原始信號的頻率相近，但並不相等。另一方面，峰值處的幅值已不再等於原始信號的幅值，為原始信號幅值的64%（矩形窗的影響）。而幅值的其他部分（36%幅值）則分布在整個頻帶的其他譜線上。拖尾現象這種非常嚴重的誤差，稱為泄漏，是數字信號處理所遭遇的最嚴重誤差。現實世界中，在做FFT分析時，很難保證截斷的信號為周期信號，因此，泄漏不可避免。為了將這個泄漏誤差減少到最小程度（注意是減少，而不是消除），我們需要使用加權函數，也叫窗函數。加窗主要是為了使時域信號似乎更好地滿足FFT處理的周期性要求，減少泄漏。非周期截斷的信號與窗函數相乘得到的信號起始點與最末點達到相同（比如都為0），變成一個類似周期截斷的信號。窗函數只能減少泄漏，不能消除泄漏。
上節 關於功率譜估計的部分有一點錯誤，我沒有理解分段加窗函數的含義。分段之後，需要補0至和原先信號一樣長，這就相當於每小段加矩形窗，矩形窗不僅有1值還有0值。在連續的世界裡非常理所當然的事情，在離散的世界裡就發生了變化。如果不補0到原來長度，頻率解析度就大大降低了。
這里我重新用經典的四種方法（直接法、間接法、Bartlett法和Welch法）來處理一個隨機信號。信號表示如下： 采樣頻率是3倍的最大頻率，采樣點數是1024點。四種功率譜估計的結果如下圖所示：
同時，試了一下對Welch法換了一下漢明窗和漢寧窗看看效果。如下所示。可以看到比矩形窗要更平滑一些了。
如何能分辨兩個很近的峰，如何能准確表徵一個峰的頻率？
頻率解析度 ， 是頻率之間間隔，越小分辨頻率的能力越強。理論上在滿足采樣定理的情況下，減小采樣頻率，增大采樣點數可以增大頻率分辨能力。這些都做不到的情況下，還可以在後面補0類似於增大采樣點數。
我實驗測試之後發現，減小采樣頻率增大采樣點數，確實比之前分辨能力更強了。在較大采樣頻率和較小采樣點數的情況下，相近的兩個頻率混在一個峰上了。
【10月12日批註】今天請教老師後，原來頻率解析度只是跟信號時間長度有關。我在實驗時同時減小采樣頻率增大采樣點數才誤以為減小采樣頻率也會有用。Amazing！
6. 橋梁動載實驗豎橫向功率譜密度圖怎麼看
橋梁動載實驗一般要測量一些物理、力學參量，諸如：加速度、力、應力、變形等。之後通過數據處理可以得到相應的功率譜密度函數曲線：其橫坐標為頻率、縱坐標為被測試的物理量量綱的平方除以頻率。功率譜曲線下的面積為被測試物理量的總方差。這個總方差越大，表明動載越大！功率譜曲線的峰值對應的頻率，或說是峰值頻率表示在那個頻率下動載很大！大的動載是由兩個原因造成的：一是外載荷特性；二是橋梁的固有特性。當外載頻率與橋梁某一個固有頻率重合(即共振)時，將引起災難性的後果！如果你要研究橋梁的使用壽命(由動載造成的)還需分析與功率譜曲線對應的均方頻率及"過零"次數等等。總之「法無定法」，看科研的需要、看市場的需要，看功率譜與「產品」的質量指標的關系，明確了這些你就會千方百計地去『榨取』隱含在功率譜曲線中的信息，或者激發你的創造性研究新的理論和方法。
7. 計算功率譜的經典方法和現代方法都有哪些具體點
計算功率譜的經典方法和現代方法都有哪些?
1)經典方法：先根據時間歷程函數x(t)，算出它的相關函數φxx(τ)，再對相關函數作傅立葉變
換，得到功率譜：Φxx(w)；
2)現代方法：就是直接對原始數據 x(t) 作FFT，得到傅立葉譜：X(jf) 之後再計算：|X(jw)|²/T
就得到功率譜： Φxx(w) = |X(jw)|²/T
3)計算互譜的方法與上述方法類似。