bp神經網路文庫

❶ BP人工神經網路

人工神經網路（artificialneuralnetwork，ANN）指由大量與自然神經系統相類似的神經元聯結而成的網路，是用工程技術手段模擬生物網路結構特徵和功能特徵的一類人工系統。神經網路不但具有處理數值數據的一般計算能力，而且還具有處理知識的思維、學習、記憶能力，它採用類似於「黑箱」的方法，通過學習和記憶，找出輸入、輸出變數之間的非線性關系（映射），在執行問題和求解時，將所獲取的數據輸入到已經訓練好的網路，依據網路學到的知識進行網路推理，得出合理的答案與結果。

岩土工程中的許多問題是非線性問題，變數之間的關系十分復雜，很難用確切的數學、力學模型來描述。工程現場實測數據的代表性與測點的位置、范圍和手段有關，有時很難滿足傳統統計方法所要求的統計條件和規律，加之岩土工程信息的復雜性和不確定性，因而運用神經網路方法實現岩土工程問題的求解是合適的。

BP神經網路模型是誤差反向傳播（BackPagation）網路模型的簡稱。它由輸入層、隱含層和輸出層組成。網路的學習過程就是對網路各層節點間連接權逐步修改的過程，這一過程由兩部分組成：正向傳播和反向傳播。正向傳播是輸入模式從輸入層經隱含層處理傳向輸出層；反向傳播是均方誤差信息從輸出層向輸入層傳播，將誤差信號沿原來的連接通路返回，通過修改各層神經元的權值，使得誤差信號最小。

BP神經網路模型在建立及應用過程中，主要存在的不足和建議有以下四個方面：

（1）對於神經網路，數據愈多，網路的訓練效果愈佳，也更能反映實際。但在實際操作中，由於條件的限制很難選取大量的樣本值進行訓練，樣本數量偏少。

（2）BP網路模型其計算速度較慢、無法表達預測量與其相關參數之間親疏關系。

（3）以定量數據為基礎建立模型，若能收集到充分資料，以定性指標（如基坑降水方式、基坑支護模式、施工工況等）和一些易獲取的定量指標作為輸入層，以評價等級作為輸出層，這樣建立的BP網路模型將更准確全面。

（4）BP人工神經網路系統具有非線性、智能的特點。較好地考慮了定性描述和定量計算、精確邏輯分析和非確定性推理等方面，但由於樣本不同，影響要素的權重不同，以及在根據先驗知識和前人的經驗總結對定性參數進行量化處理，必然會影響評價的客觀性和准確性。因此，在實際評價中只有根據不同的基坑施工工況、不同的周邊環境條件，應不同用戶的需求，選擇不同的分析指標，才能滿足復雜工況條件下地質環境評價的要求，取得較好的應用效果。

❷ 傷寒、副傷寒流行預測模型（BP神經網路）的建立

由於目前研究的各種數學模型或多或少存在使用條件的局限性，或使用方法的復雜性等問題，預測效果均不十分理想，距離實際應用仍有較大差距。NNT是Matlab 中較為重要的一個工具箱，在實際應用中，BP 網路用的最廣泛。神經網路具有綜合能力強，對數據的要求不高，適時學習等突出優點，其操作簡便，節省時間，網路初學者即使不了解其演算法的本質，也可以直接應用功能豐富的函數來實現自己的目的。因此，易於被基層單位預防工作者掌握和應用。以下幾個問題是建立理想的因素與疾病之間的神經網路模型的關鍵：

（1）資料選取

應盡可能地選取所研究地區系統連續的因素與疾病資料，最好包括有疾病高發年和疾病低發年的數據。在收集影響因素時，要抓住主要影響傷寒、副傷寒的發病因素。

（2）疾病發病率分級

神經網路預測法是按發病率高低來進行預測，在定義發病率等級時，要結合專業知識及當地情況而定，並根據網路學習訓練效果而適時調整，以使網路學習訓練達到最佳效果。

（3）資料處理問題

在實踐中發現，資料的特徵往往很大程度地影響網路學習和訓練的穩定性，因此，數據的應用、納入、排出問題有待於進一步研究。

6.3.1 人工神經網路的基本原理

人工神經網路（ANN）是近年來發展起來的十分熱門的交叉學科，它涉及生物、電子、計算機、數學和物理等學科，有著廣泛的應用領域。人工神經網路是一種自適應的高度非線性動力系統，在網路計算的基礎上，經過多次重復組合，能夠完成多維空間的映射任務。神經網路通過內部連接的自組織結構，具有對數據的高度自適應能力，由計算機直接從實例中學習獲取知識，探求解決問題的方法，自動建立起復雜系統的控制規律及其認知模型。

人工神經網路就其結構而言，一般包括輸入層、隱含層和輸出層，不同的神經網路可以有不同的隱含層數，但他們都只有一層輸入和一層輸出。神經網路的各層又由不同數目的神經元組成，各層神經元數目隨解決問題的不同而有不同的神經元個數。

6.3.2 BP神經網路模型

BP網路是在1985年由PDP小組提出的反向傳播演算法的基礎上發展起來的，是一種多層次反饋型網路（圖6.17），它在輸入和輸出之間採用多層映射方式，網路按層排列，只有相鄰層的節點直接相互連接，傳遞之間信息。在正向傳播中，輸入信息從輸入層經隱含層逐層處理，並傳向輸出層，每層神經元的狀態隻影響下一層神經元的狀態。如果輸出層不能得到期望的輸出結果，則轉入反向傳播，將誤差信號沿原來的連同通路返回，通過修改各層神經元的權值，使誤差信號最小。

BP網路的學習演算法步驟如下（圖6.18）：

圖6.17 BP神經網路示意圖

圖6.18 BP演算法流程圖

第一步：設置初始參數ω和θ，（ω為初始權重，θ為臨界值，均隨機設為較小的數）。

第二步：將已知的樣本加到網路上，利用下式可算出他們的輸出值y_i，其值為

岩溶地區地下水與環境的特殊性研究

式中：x_i為該節點的輸入；ω_ij為從I到j的聯接權；θ_j為臨界值；y_j為實際算出的輸出數據。

第三步：將已知輸出數據與上面算出的輸出數據之差（d_j-y_j）調整權系數ω，調整量為

ΔW_ij=ηδ_jx_j

式中：η為比例系數；x_j為在隱節點為網路輸入，在輸出點則為下層（隱）節點的輸出（j=1，2…，n）；d_j為已知的輸出數據（學習樣本訓練數據）；δ_j為一個與輸出偏差相關的值，對於輸出節點來說有

δ_j=η_j（1-y_j）（d_j-y_j）

對於隱節點來說，由於它的輸出無法進行比較，所以經過反向逐層計算有

岩溶地區地下水與環境的特殊性研究

其中k指要把上層（輸出層）節點取遍。誤差δ_j是從輸出層反向逐層計算的。各神經元的權值調整後為

ω_ij（t）=ω_ij（t-1）+Vω_ij

式中：t為學習次數。

這個演算法是一個迭代過程，每一輪將各W值調整一遍，這樣一直迭代下去，知道輸出誤差小於某一允許值為止，這樣一個好的網路就訓練成功了，BP演算法從本質上講是把一組樣本的輸入輸出問題變為一個非線性優化問題，它使用了優化技術中最普遍的一種梯度下降演算法，用迭代運算求解權值相當於學習記憶問題。

6.3.3 BP 神經網路模型在傷寒、副傷寒流行與傳播預測中的應用

傷寒、副傷寒的傳播與流行同環境之間有著一定的聯系。根據桂林市1990年以來鄉鎮為單位的傷寒、副傷寒疫情資料，傷寒、副傷寒疫源地資料，結合現有資源與環境背景資料（桂林市行政區劃、土壤、氣候等）和社會經濟資料（經濟、人口、生活習慣等統計資料）建立人工神經網路數學模型，來逼近這種規律。

6.3.3.1 模型建立

（1）神經網路的BP演算法

BP網路是一種前饋型網路，由1個輸入層、若干隱含層和1個輸出層構成。如果輸入層、隱含層和輸出層的單元個數分別為n，q₁，q₂，m，則該三層網路網路可表示為BP（n，q₁，q₂，m），利用該網路可實現n維輸入向量X_n=（X₁，X₂，…，X_n）T到m維輸出向量Y_m=（Y₁，Y₂，…，Y_m）T的非線性映射。輸入層和輸出層的單元數n，m根據具體問題確定。

（2）樣本的選取

將模型的輸入變數設計為平均溫度、平均降雨量、岩石性質、岩溶發育、地下水類型、飲用水類型、正規自來水供應比例、集中供水比例8個輸入因子（表6.29），輸出單元為傷寒副傷寒的發病率等級，共一個輸出單元。其中q₁，q₂的值根據訓練結果進行選擇。

表6.29 桂林市傷寒副傷寒影響因素量化表

通過分析，選取在傷寒副傷寒有代表性的縣鎮在1994～2001年的環境參評因子作為樣本進行訓練。利用聚類分析法對疫情進行聚類分級（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ），傷寒副傷寒發病最高級為Ⅳ（BP網路中輸出定為4），次之的為Ⅲ（BP網路中輸出定為3），以此類推，最低為Ⅰ（BP網路中輸出定為1）

（3）數據的歸一化處理

為使網路在訓練過程中易於收斂，我們對輸入數據進行了歸一化處理，並將輸入的原始數據都化為0～1之間的數。如將平均降雨量的數據乘以0.0001；將平均氣溫的數據乘以0.01；其他輸入數據也按類似的方法進行歸一化處理。

（4）模型的演算法過程

假設共有P個訓練樣本，輸入的第p個（p=1，2，…，P）訓練樣本信息首先向前傳播到隱含單元上。

經過激活函數f（u）的作用得到隱含層1的輸出信息：

岩溶地區地下水與環境的特殊性研究

經過激活函數f（u）的作用得到隱含層2的輸出信息：

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激活函數f（u）我們這里採用Sigmoid型，即

f（u）=1/[1+exp（-u）]（6.5）

隱含層的輸出信息傳到輸出層，可得到最終輸出結果為

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以上過程為網路學習的信息正向傳播過程。

另一個過程為誤差反向傳播過程。如果網路輸出與期望輸出間存在誤差，則將誤差反向傳播，利用下式來調節網路權重和閾值：

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式中：Δω（t）為t次訓練時權重和閾值的修正；η稱為學習速率，0＜η＜1；E為誤差平方和。

岩溶地區地下水與環境的特殊性研究

反復運用以上兩個過程，直至網路輸出與期望輸出間的誤差滿足一定的要求。

該模型演算法的缺點：

1）需要較長的訓練時間。由於一些復雜的問題，BP演算法可能要進行幾小時甚至更長的時間的訓練，這主要是由於學習速率太小造成的，可採用變化的學習速率或自適應的學習速率加以改進。

2）完全不能訓練。主要表現在網路出現的麻痹現象上，在網路的訓練過程中，當其權值調的過大，可能使得所有的或大部分神經元的加權總和n偏大，這使得激活函數的輸入工作在S型轉移函數的飽和區，從而導致其導數f′（n）非常小，從而使得對網路權值的調節過程幾乎停頓下來。

3）局部極小值。BP演算法可以使網路權值收斂到一個解，但它並不能保證所求為誤差超平面的全局最小解，很可能是一個局部極小解。這是因為BP演算法採用的是梯度下降法，訓練從某一起點沿誤差函數的斜面逐漸達到誤差的最小值。

考慮到以上演算法的缺點，對模型進行了兩方面的改進：

（1）附加動量法

為了避免陷入局部極小值，對模型進行了改進，應用了附加動量法。附加動量法在使網路修正及其權值時，不僅考慮誤差在梯度上的作用，而且考慮在誤差曲面上變化趨勢的影響，其作用如同一個低通濾波器，它允許網路忽略網路上的微小變化特性。在沒有附加動量的作用下，網路可能陷入淺的局部極小值，利用附加動量的作用則有可能滑過這些極小值。

該方法是在反向傳播法的基礎上在每一個權值的變化上加上一項正比於前次權值變化量的值，並根據反向傳播法來產生心的權值變化。促使權值的調節向著誤差曲面底部的平均方向變化，從而防止了如Δω（t）=0的出現，有助於使網路從誤差曲面的局部極小值中跳出。

這種方法主要是把式（6.7）改進為

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式中：A為訓練次數；a為動量因子，一般取0.95左右。

訓練中對採用動量法的判斷條件為

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（2）自適應學習速率

對於一個特定的問題，要選擇適當的學習速率不是一件容易的事情。通常是憑經驗或實驗獲取，但即使這樣，對訓練開始初期功效較好的學習速率，不見得對後來的訓練合適。所以，為了盡量縮短網路所需的訓練時間，採用了學習速率隨著訓練變化的方法來找到相對於每一時刻來說較差的學習速率。

下式給出了一種自適應學習速率的調整公式：

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通過以上兩個方面的改進，訓練了一個比較理想的網路，將動量法和自適應學習速率結合起來，效果要比單獨使用要好得多。

6.3.3.2 模型的求解與預測

採用包含了2個隱含層的神經網路BP（4，q₁，q₂，1），隱含層單元數q₁，q₂與所研究的具體問題有關，目前尚無統一的確定方法，通常根據網路訓練情況採用試錯法確定。在滿足一定的精度要求下一般認小的數值，以改善網路的概括推論能力。在訓練中網路的收斂採用輸出值Y_kp與實測值t_p的誤差平方和進行控制：

岩溶地區地下水與環境的特殊性研究

1）將附加動量法和自適應學習速率結合應用，分析桂林市36個鄉鎮地質條件各因素對傷寒副傷寒發病等級的影響。因此訓練樣本為36個，第一個隱含層有19個神經元，第二個隱含層有11個神經元，學習速率為0.001。

A.程序（略）。

B.網路訓練。在命令窗口執行運行命令，網路開始學習和訓練，其學習和訓練過程如下（圖6.19）。

圖6.19 神經網路訓練過程圖

C.模型預測。

a.輸入未參與訓練的鄉鎮（洞井鄉、兩水鄉、延東鄉、四塘鄉、嚴關鎮、靈田鄉）地質條件數據。

b.預測。程序運行後網路輸出預測值a3，與已知的實際值進行比較，其預測結果整理後見（表6.30）。經計算，對6個鄉鎮傷寒副傷寒發病等級的預測符合率為83.3%。

表6.30 神經網路模型預測結果與實際結果比較

c.地質條件改進方案。在影響疾病發生的地質條件中，大部分地質條件是不會變化的，而改變發病地區的飲用水類型是可以人為地通過改良措施加以實施的一個因素。因此，以靈田鄉為例對發病率較高的鄉鎮進行分析，改變其飲用水類型，來看發病等級的變化情況。

表6.31顯示，在其他地質條件因素不變的情況下，改變當地的地下水類型（從原來的岩溶水類型改變成基岩裂隙水）則將發病等級從原來的最高級4級，下降為較低的2級，效果是十分明顯的。因此，今後在進行傷寒副傷寒疾病防治的時候，可以通過改變高發區飲用水類型來客觀上減少疫情的發生。

表6.31 靈田鄉改變飲用水類型前後的預測結果

2）選取桂林地區1994～2000年月平均降雨量、月平均溫度作為輸入數據矩陣，進行樣本訓練，設定不同的隱含層單元數，對各月份的數據進行BP網路訓練。在隱含層單元數q₁=13，q₂=9，經過46383次數的訓練，誤差達到精度要求，學習速率0.02。

A.附加動量法程序（略）。

B.網路訓練。在命令窗口執行運行命令，網路開始學習和訓練，其學習和訓練過程如下（圖6.20）。

C.模型預測。

a.輸入桂林市2001年1～12月桂林市各月份的平均氣溫和平均降雨量。預測程度（略）。

b.預測。程序運行後網路輸出預測值a2，與已知的實際值進行比較，其預測結果整理後見（表6.32）。經計算，對2001年1～12月傷寒副傷寒發病等級進行預測，12個預測結果中，有9個符合，符合率為75%。

圖6.20 神經網路訓練過程圖

表6.32 神經網路模型預測結果與實際值比較

6.3.3.3 模型的評價

本研究採用BP神經網路對傷寒、副傷寒發病率等級進行定量預測，一方面引用數量化理論對不確定因素進行量化處理；另一方面利用神經網路優點，充分考慮各影響因素與發病率之間的非線性映射。

實際應用表明，神經網路定量預測傷寒、副傷寒發病率是理想的。

其主要優點有：

1）避免了模糊或不確定因素的分析工作和具體數學模型的建立工作。

2）完成了輸入和輸出之間復雜的非線性映射關系。

3）採用自適應的信息處理方式，有效減少人為的主觀臆斷性。

雖然如此，但仍存在以下缺點：

1）學習演算法的收斂速度慢，通常需要上千次或更多，訓練時間長。

2）從數學上看，BP演算法有可能存在局部極小問題。

本模型具有廣泛的應用范圍，可以應用在很多領域。從上面的結果可以看出，實際和網路學習數據總體較為接近，演化趨勢也基本一致。說明選定的氣象因子、地質條件因素為神經單元獲得的傷寒、副傷寒發病等級與實際等級比較接近，從而證明傷寒、副傷寒流行與地理因素的確存在較密切的相關性。

❸ BP神經網路方法

人工神經網路是近幾年來發展起來的新興學科，它是一種大規模並行分布處理的非線性系統，適用解決難以用數學模型描述的系統，逼近任何非線性的特性，具有很強的自適應、自學習、聯想記憶、高度容錯和並行處理能力，使得神經網路理論的應用已經滲透到了各個領域。近年來，人工神經網路在水質分析和評價中的應用越來越廣泛，並取得良好效果。在這些應用中，縱觀應用於模式識別的神經網路，BP網路是最有效、最活躍的方法之一。

BP網路是多層前向網路的權值學習採用誤差逆傳播學習的一種演算法（Error Back Propagation，簡稱BP）。在具體應用該網路時分為網路訓練及網路工作兩個階段。在網路訓練階段，根據給定的訓練模式，按照「模式的順傳播」→「誤差逆傳播」→「記憶訓練」→「學習收斂」4個過程進行網路權值的訓練。在網路的工作階段，根據訓練好的網路權值及給定的輸入向量，按照「模式順傳播」方式求得與輸入向量相對應的輸出向量的解答（閻平凡，2000）。

BP演算法是一種比較成熟的有指導的訓練方法，是一個單向傳播的多層前饋網路。它包含輸入層、隱含層、輸出層，如圖4-4所示。

圖4-4 地下水質量評價的BP神經網路模型

圖4-4給出了4層地下水水質評價的BP神經網路模型。同層節點之間不連接。輸入信號從輸入層節點，依次傳過各隱含層節點，然後傳到輸出層節點，如果在輸出層得不到期望輸出，則轉入反向傳播，將誤差信號沿原來通路返回，通過學習來修改各層神經元的權值，使誤差信號最小。每一層節點的輸出隻影響下一層節點的輸入。每個節點都對應著一個作用函數（f）和閾值（a），BP網路的基本處理單元量為非線性輸入-輸出的關系，輸入層節點閾值為0，且f（x）=x；而隱含層和輸出層的作用函數為非線性的Sigmoid型（它是連續可微的）函數，其表達式為

f（x）=1/（1+e^-x） （4-55）

設有L個學習樣本（X_k，O_k）（k=1，2，…，l），其中X_k為輸入，O_k為期望輸出，X_k經網路傳播後得到的實際輸出為Y_k，則Y_k與要求的期望輸出O_k之間的均方誤差為

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

式中：M為輸出層單元數；Y_k，p為第k樣本對第p特性分量的實際輸出；O_k，p為第k樣本對第p特性分量的期望輸出。

樣本的總誤差為

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

由梯度下降法修改網路的權值，使得E取得最小值，學習樣本對W_ij的修正為

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

式中：η為學習速率，可取0到1間的數值。

所有學習樣本對權值W_ij的修正為

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

通常為增加學習過程的穩定性，用下式對W_ij再進行修正：

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

式中：β為充量常量；W_ij（t）為BP網路第t次迭代循環訓練後的連接權值；W_ij（t-1）為BP網路第t-1次迭代循環訓練後的連接權值。

在BP網路學習的過程中，先調整輸出層與隱含層之間的連接權值，然後調整中間隱含層間的連接權值，最後調整隱含層與輸入層之間的連接權值。實現BP網路訓練學習程序流程，如圖4-5所示（倪深海等，2000）。

圖4-5 BP神經網路模型程序框圖

若將水質評價中的評價標准作為樣本輸入，評價級別作為網路輸出，BP網路通過不斷學習，歸納出評價標准與評價級別間復雜的內在對應關系，即可進行水質綜合評價。

BP網路對地下水質量綜合評價，其評價方法不需要過多的數理統計知識，也不需要對水質量監測數據進行復雜的預處理，操作簡便易行，評價結果切合實際。由於人工神經網路方法具有高度民主的非線性函數映射功能，使得地下水水質評價結果較准確（袁曾任，1999）。

BP網路可以任意逼近任何連續函數，但是它主要存在如下缺點：①從數學上看，它可歸結為一非線性的梯度優化問題，因此不可避免地存在局部極小問題；②學習演算法的收斂速度慢，通常需要上千次或更多。

神經網路具有學習、聯想和容錯功能，是地下水水質評價工作方法的改進，如何在現行的神經網路中進一步吸取模糊和灰色理論的某些優點，建立更適合水質評價的神經網路模型，使該模型既具有方法的先進性又具有現實的可行性，將是我們今後研究和探討的問題。

❹ BP神經網路(誤差反傳網路)

雖然每個人工神經元很簡單，但是只要把多個人工

神經元按一定方式連接起來就構成了一個能處理復雜信息的神經網路。採用BP演算法的多層前饋網路是目前應用最廣泛的神經網路，稱之為BP神經網路。它的最大功能就是能映射復雜的非線性函數關系。

對於已知的模型空間和數據空間，我們知道某個模型和他對應的數據，但是無法寫出它們之間的函數關系式，但是如果有大量的一一對應的模型和數據樣本集合，利用BP神經網路可以模擬(映射)它們之間的函數關系。

一個三層BP網路如圖8.11所示，分為輸入層、隱層、輸出層。它是最常用的BP網路。理論分析證明三層網路已經能夠表達任意復雜的連續函數關系了。只有在映射不連續函數時(如鋸齒波)才需要兩個隱層^[8]。

圖8.11中，X=(x₁，…，x_i，…，x_n)^T為輸入向量，如加入x₀=-1，可以為隱層神經元引入閥值;隱層輸出向量為:Y=(y₁，…，y_i，…，y_m)^T，如加入y₀=-1，可以為輸出層神經元引入閥值;輸出層輸出向量為:O=(o₁，…，o_i，…，o_l)^T;輸入層到隱層之間的權值矩陣用V表示，V=(V₁，…，V_j，…，V_l)^T，其中列向量V_j表示隱層第j個神經元的權值向量;隱層到輸出層之間的權值矩陣用W表示，W=(W₁，…，W_k，…，W_l)^T，

其中列向量W_k表示輸出層第k個神經元的權值向量。

圖8.11 三層BP網路^[8]

BP演算法的基本思想是:預先給定一一對應的輸入輸出樣本集。學習過程由信號的正向傳播與誤差的反向傳播兩個過程組成。正向傳播時，輸入樣本從輸入層傳入，經過各隱層逐層處理後，傳向輸出層。若輸出層的實際輸出與期望的輸出(教師信號)不符，則轉入誤差的反向傳播。將輸出誤差以某種形式通過隱層向輸入層逐層反傳，並將誤差分攤給各層的所有神經元，獲得各層的誤差信號，用它們可以對各層的神經元的權值進行調整(關於如何修改權值參見韓立群著作^[8])，循環不斷地利用輸入輸出樣本集進行權值調整，以使所有輸入樣本的輸出誤差都減小到滿意的精度。這個過程就稱為網路的學習訓練過程。當網路訓練完畢後，它相當於映射(表達)了輸入輸出樣本之間的函數關系。

在地球物理勘探中，正演過程可以表示為如下函數:

d=f(m) (8.31)

它的反函數為

m=f^-1(d) (8.32)

如果能夠獲得這個反函數，那麼就解決了反演問題。一般來說，難以寫出這個反函數，但是我們可以用BP神經網路來映射這個反函數m=f^-1(d)。對於地球物理反問題，如果把觀測數據當作輸入數據，模型參數當作輸出數據，事先在模型空間隨機產生大量樣本進行正演計算，獲得對應的觀測數據樣本，利用它們對BP網路進行訓練，則訓練好的網路就相當於是地球物理數據方程的反函數。可以用它進行反演，輸入觀測數據，網路就會輸出它所對應的模型。

BP神經網路在能夠進行反演之前需要進行學習訓練。訓練需要大量的樣本，產生這些樣本需要大量的正演計算，此外在學習訓練過程也需要大量的時間。但是BP神經網路一旦訓練完畢，在反演中的計算時間可以忽略。

要想使BP神經網路比較好地映射函數關系，需要有全面代表性的樣本，但是由於模型空間的無限性，難以獲得全面代表性的樣本集合。用這樣的樣本訓練出來的BP網路，只能反映樣本所在的較小范圍數據空間和較小范圍模型空間的函數關系。對於超出它們的觀測數據就無法正確反演。目前BP神經網路在一維反演有較多應用，在二維、三維反演應用較少，原因就是難以產生全面代表性的樣本空間。

❺ bp神經網路

BP（Back Propagation）網路是1986年由Rumelhart和McCelland為首的科學家小組提出，是一種按誤差逆傳播演算法訓練的多層前饋網路，是目前應用最廣泛的神經網路模型之一。BP網路能學習和存貯大量的輸入-輸出模式映射關系，而無需事前揭示描述這種映射關系的數學方程。它的學習規則是使用最速下降法，通過反向傳播來不斷調整網路的權值和閾值，使網路的誤差平方和最小。BP神經網路模型拓撲結構包括輸入層（input）、隱層(hide layer)和輸出層(output layer)。
人工神經網路就是模擬人思維的第二種方式。這是一個非線性動力學系統，其特色在於信息的分布式存儲和並行協同處理。雖然單個神經元的結構極其簡單，功能有限，但大量神經元構成的網路系統所能實現的行為卻是極其豐富多彩的。

人工神經網路首先要以一定的學習准則進行學習，然後才能工作。現以人工神經網路對手寫「A」、「B」兩個字母的識別為例進行說明，規定當「A」輸入網路時，應該輸出「1」，而當輸入為「B」時，輸出為「0」。

所以網路學習的准則應該是：如果網路作出錯誤的的判決，則通過網路的學習，應使得網路減少下次犯同樣錯誤的可能性。首先，給網路的各連接權值賦予(0，1)區間內的隨機值，將「A」所對應的圖象模式輸入給網路，網路將輸入模式加權求和、與門限比較、再進行非線性運算，得到網路的輸出。在此情況下，網路輸出為「1」和「0」的概率各為50%，也就是說是完全隨機的。這時如果輸出為「1」(結果正確)，則使連接權值增大，以便使網路再次遇到「A」模式輸入時，仍然能作出正確的判斷。

如果輸出為「0」(即結果錯誤)，則把網路連接權值朝著減小綜合輸入加權值的方向調整，其目的在於使網路下次再遇到「A」模式輸入時，減小犯同樣錯誤的可能性。如此操作調整，當給網路輪番輸入若干個手寫字母「A」、「B」後，經過網路按以上學習方法進行若干次學習後，網路判斷的正確率將大大提高。這說明網路對這兩個模式的學習已經獲得了成功，它已將這兩個模式分布地記憶在網路的各個連接權值上。當網路再次遇到其中任何一個模式時，能夠作出迅速、准確的判斷和識別。一般說來，網路中所含的神經元個數越多，則它能記憶、識別的模式也就越多。

如圖所示拓撲結構的單隱層前饋網路，一般稱為三層前饋網或三層感知器，即：輸入層、中間層（也稱隱層）和輸出層。它的特點是：各層神經元僅與相鄰層神經元之間相互全連接，同層內神經元之間無連接，各層神經元之間無反饋連接，構成具有層次結構的前饋型神經網路系統。單計算層前饋神經網路只能求解線性可分問題，能夠求解非線性問題的網路必須是具有隱層的多層神經網路。
神經網路的研究內容相當廣泛，反映了多學科交叉技術領域的特點。主要的研究工作集中在以下幾個方面：

（1）生物原型研究。從生理學、心理學、解剖學、腦科學、病理學等生物科學方面研究神經細胞、神經網路、神經系統的生物原型結構及其功能機理。

（2）建立理論模型。根據生物原型的研究，建立神經元、神經網路的理論模型。其中包括概念模型、知識模型、物理化學模型、數學模型等。

（3）網路模型與演算法研究。在理論模型研究的基礎上構作具體的神經網路模型，以實現計算機模擬或准備製作硬體，包括網路學習演算法的研究。這方面的工作也稱為技術模型研究。

（4）人工神經網路應用系統。在網路模型與演算法研究的基礎上，利用人工神經網路組成實際的應用系統，例如，完成某種信號處理或模式識別的功能、構作專家系統、製成機器人等等。

縱觀當代新興科學技術的發展歷史，人類在征服宇宙空間、基本粒子，生命起源等科學技術領域的進程中歷經了崎嶇不平的道路。我們也會看到，探索人腦功能和神經網路的研究將伴隨著重重困難的克服而日新月異。
神經網路可以用作分類、聚類、預測等。神經網路需要有一定量的歷史數據，通過歷史數據的訓練，網路可以學習到數據中隱含的知識。在你的問題中，首先要找到某些問題的一些特徵，以及對應的評價數據，用這些數據來訓練神經網路。

雖然BP網路得到了廣泛的應用，但自身也存在一些缺陷和不足，主要包括以下幾個方面的問題。

首先，由於學習速率是固定的，因此網路的收斂速度慢，需要較長的訓練時間。對於一些復雜問題，BP演算法需要的訓練時間可能非常長，這主要是由於學習速率太小造成的，可採用變化的學習速率或自適應的學習速率加以改進。

其次，BP演算法可以使權值收斂到某個值，但並不保證其為誤差平面的全局最小值，這是因為採用梯度下降法可能產生一個局部最小值。對於這個問題，可以採用附加動量法來解決。

再次，網路隱含層的層數和單元數的選擇尚無理論上的指導，一般是根據經驗或者通過反復實驗確定。因此，網路往往存在很大的冗餘性，在一定程度上也增加了網路學習的負擔。

最後，網路的學習和記憶具有不穩定性。也就是說，如果增加了學習樣本，訓練好的網路就需要從頭開始訓練，對於以前的權值和閾值是沒有記憶的。但是可以將預測、分類或聚類做的比較好的權值保存。
請採納。

❻ 神經網路BP模型

一、BP模型概述

誤差逆傳播(Error Back-Propagation)神經網路模型簡稱為BP(Back-Propagation)網路模型。

Pall Werbas博士於1974年在他的博士論文中提出了誤差逆傳播學習演算法。完整提出並被廣泛接受誤差逆傳播學習演算法的是以Rumelhart和McCelland為首的科學家小組。他們在1986年出版「Parallel Distributed Processing，Explorations in the Microstructure of Cognition」(《並行分布信息處理》)一書中，對誤差逆傳播學習演算法進行了詳盡的分析與介紹，並對這一演算法的潛在能力進行了深入探討。

BP網路是一種具有3層或3層以上的階層型神經網路。上、下層之間各神經元實現全連接，即下層的每一個神經元與上層的每一個神經元都實現權連接，而每一層各神經元之間無連接。網路按有教師示教的方式進行學習，當一對學習模式提供給網路後，神經元的激活值從輸入層經各隱含層向輸出層傳播，在輸出層的各神經元獲得網路的輸入響應。在這之後，按減小期望輸出與實際輸出的誤差的方向，從輸入層經各隱含層逐層修正各連接權，最後回到輸入層，故得名「誤差逆傳播學習演算法」。隨著這種誤差逆傳播修正的不斷進行，網路對輸入模式響應的正確率也不斷提高。

BP網路主要應用於以下幾個方面：

1)函數逼近：用輸入模式與相應的期望輸出模式學習一個網路逼近一個函數；

2)模式識別：用一個特定的期望輸出模式將它與輸入模式聯系起來；

3)分類：把輸入模式以所定義的合適方式進行分類；

4)數據壓縮：減少輸出矢量的維數以便於傳輸或存儲。

在人工神經網路的實際應用中，80%～90%的人工神經網路模型採用BP網路或它的變化形式，它也是前向網路的核心部分，體現了人工神經網路最精華的部分。

二、BP模型原理

下面以三層BP網路為例，說明學習和應用的原理。

1.數據定義

P對學習模式(x_p，d_p)，p=1，2，…，P；

輸入模式矩陣X[N][P]=(x₁，x₂，…，x_P)；

目標模式矩陣d[M][P]=(d₁，d₂，…，d_P)。

三層BP網路結構

輸入層神經元節點數S0=N，i=1，2，…，S0；

隱含層神經元節點數S1，j=1，2，…，S1；

神經元激活函數f1[S1]；

權值矩陣W1[S1][S0]；

偏差向量b1[S1]。

輸出層神經元節點數S2=M，k=1，2，…，S2；

神經元激活函數f2[S2]；

權值矩陣W2[S2][S1]；

偏差向量b2[S2]。

學習參數

目標誤差ϵ；

初始權更新值Δ₀；

最大權更新值Δ_max；

權更新值增大倍數η⁺；

權更新值減小倍數η^-。

2.誤差函數定義

對第p個輸入模式的誤差的計算公式為

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

y2_kp為BP網的計算輸出。

3.BP網路學習公式推導

BP網路學習公式推導的指導思想是，對網路的權值W、偏差b修正，使誤差函數沿負梯度方向下降，直到網路輸出誤差精度達到目標精度要求，學習結束。

各層輸出計算公式

輸入層

y0_i=x_i，i=1，2，…，S0；

隱含層

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y1_j=f1(z1_j)，

j=1，2，…，S1；

輸出層

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y2_k=f2(z2_k)，

k=1，2，…，S2。

輸出節點的誤差公式

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對輸出層節點的梯度公式推導

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E是多個y2_m的函數，但只有一個y2_k與w_kj有關，各y2_m間相互獨立。

其中

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則

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設輸出層節點誤差為

δ2_k=(d_k-y2_k)·f2′(z2_k)，

則

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同理可得

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對隱含層節點的梯度公式推導

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E是多個y2_k的函數，針對某一個w1_ji，對應一個y1_j，它與所有的y2_k有關。因此，上式只存在對k的求和，其中

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則

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設隱含層節點誤差為

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則

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同理可得

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4.採用彈性BP演算法(RPROP)計算權值W、偏差b的修正值ΔW，Δb

1993年德國 Martin Riedmiller和Heinrich Braun 在他們的論文「A Direct Adaptive Method for Faster Backpropagation Learning：The RPROP Algorithm」中，提出Resilient Backpropagation演算法——彈性BP演算法(RPROP)。這種方法試圖消除梯度的大小對權步的有害影響，因此，只有梯度的符號被認為表示權更新的方向。

權改變的大小僅僅由權專門的「更新值」

確定

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其中

表示在模式集的所有模式(批學習)上求和的梯度信息，(t)表示t時刻或第t次學習。

權更新遵循規則：如果導數是正(增加誤差)，這個權由它的更新值減少。如果導數是負，更新值增加。

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RPROP演算法是根據局部梯度信息實現權步的直接修改。對於每個權，我們引入它的

各自的更新值

，它獨自確定權更新值的大小。這是基於符號相關的自適應過程，它基

於在誤差函數E上的局部梯度信息，按照以下的學習規則更新

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其中0＜η^-＜1＜η⁺。

在每個時刻，如果目標函數的梯度改變它的符號，它表示最後的更新太大，更新值

應由權更新值減小倍數因子η^-得到減少；如果目標函數的梯度保持它的符號，更新值應由權更新值增大倍數因子η⁺得到增大。

為了減少自由地可調參數的數目，增大倍數因子η⁺和減小倍數因子η^–被設置到固定值

η⁺=1.2，

η^-=0.5，

這兩個值在大量的實踐中得到了很好的效果。

RPROP演算法採用了兩個參數：初始權更新值Δ₀和最大權更新值Δ_max

當學習開始時，所有的更新值被設置為初始值Δ₀，因為它直接確定了前面權步的大小，它應該按照權自身的初值進行選擇，例如，Δ₀=0.1(默認設置)。

為了使權不至於變得太大，設置最大權更新值限制Δ_max，默認上界設置為

Δ_max=50.0。

在很多實驗中，發現通過設置最大權更新值Δ_max到相當小的值，例如

Δ_max=1.0。

我們可能達到誤差減小的平滑性能。

5.計算修正權值W、偏差b

第t次學習，權值W、偏差b的的修正公式

W^(t)=W^(t-1)+ΔW^(t)，

b^(t)=b^(t-1)+Δb^(t)，

其中，t為學習次數。

6.BP網路學習成功結束條件每次學習累積誤差平方和

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每次學習平均誤差

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當平均誤差MSE＜ε，BP網路學習成功結束。

7.BP網路應用預測

在應用BP網路時，提供網路輸入給輸入層，應用給定的BP網路及BP網路學習得到的權值W、偏差b，網路輸入經過從輸入層經各隱含層向輸出層的「順傳播」過程，計算出BP網的預測輸出。

8.神經元激活函數f

線性函數

f(x)=x，

f′(x)=1，

f(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍(-∞，+∞)。

一般用於輸出層，可使網路輸出任何值。

S型函數S(x)

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f(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍(0，1)。

f′(x)=f(x)[1-f(x)]，

f′(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍(0，

]。

一般用於隱含層，可使范圍(-∞，+∞)的輸入，變成(0，1)的網路輸出，對較大的輸入，放大系數較小；而對較小的輸入，放大系數較大，所以可用來處理和逼近非線性的輸入/輸出關系。

在用於模式識別時，可用於輸出層，產生逼近於0或1的二值輸出。

雙曲正切S型函數

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f(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍(-1，1)。

f′(x)=1-f(x)·f(x)，

f′(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍(0，1]。

一般用於隱含層，可使范圍(-∞，+∞)的輸入，變成(-1，1)的網路輸出，對較大的輸入，放大系數較小；而對較小的輸入，放大系數較大，所以可用來處理和逼近非線性的輸入/輸出關系。

階梯函數

類型1

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f(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍{0，1}。

f′(x)=0。

類型2

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f(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍{-1，1}。

f′(x)=0。

斜坡函數

類型1

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f(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍[0，1]。

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f′(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍{0，1}。

類型2

中國礦產資源評價新技術與評價新模型

f(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍[-1，1]。

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f′(x)的輸入范圍(-∞，+∞)，輸出范圍{0，1}。

三、總體演算法

1.三層BP網路(含輸入層，隱含層，輸出層)權值W、偏差b初始化總體演算法

(1)輸入參數X[N][P]，S₀，S₁，f₁[S₁]，S₂，f₂[S₂]；

(2)計算輸入模式X[N][P]各個變數的最大值，最小值矩陣 X_max[N]，X_min[N]；

(3)隱含層的權值W₁，偏差b₁初始化。

情形1：隱含層激活函數f( )都是雙曲正切S型函數

1)計算輸入模式X[N][P]的每個變數的范圍向量X_rng[N]；

2)計算輸入模式X的每個變數的范圍均值向量X_mid[N]；

3)計算W，b的幅度因子W_mag；

4)產生[-1，1]之間均勻分布的S₀×1維隨機數矩陣R_and[S₁]；

5)產生均值為0，方差為1的正態分布的S₁×S₀維隨機數矩陣Randnr[S₁][S₀]，隨機數范圍大致在[-1，1]；

6)計算W[S₁][S₀]，b[S₁]；

7)計算隱含層的初始化權值W₁[S₁][S₀]；

8)計算隱含層的初始化偏差b₁[S₁]；

9))輸出W₁[S₁][S₀]，b₁[S₁]。

情形2：隱含層激活函數f( )都是S型函數

1)計算輸入模式X[N][P]的每個變數的范圍向量X_rng[N]；

2)計算輸入模式X的每個變數的范圍均值向量X_mid[N]；

3)計算W，b的幅度因子W_mag；

4)產生[-1，1]之間均勻分布的S₀×1維隨機數矩陣R_and[S₁]；

5)產生均值為0，方差為1的正態分布的S₁×S₀維隨機數矩陣R_andnr[S₁][S₀]，隨機數范圍大致在[-1，1]；

6)計算W[S₁][S₀]，b[S₁]；

7)計算隱含層的初始化權值W₁[S₁][S₀]；

8)計算隱含層的初始化偏差b₁[S₁]；

9)輸出W₁[S₁][S₀]，b₁[S₁]。

情形3：隱含層激活函數f( )為其他函數的情形

1)計算輸入模式X[N][P]的每個變數的范圍向量X_rng[N]；

2)計算輸入模式X的每個變數的范圍均值向量X_mid[N]；

3)計算W，b的幅度因子W_mag；

4)產生[-1，1]之間均勻分布的S₀×1維隨機數矩陣R_and[S₁]；

5)產生均值為0，方差為1的正態分布的S₁×S₀維隨機數矩陣R_andnr[S₁][S₀]，隨機數范圍大致在[-1，1]；

6)計算W[S₁][S₀]，b[S₁]；

7)計算隱含層的初始化權值W₁[S₁][S₀]；

8)計算隱含層的初始化偏差b₁[S₁]；

9)輸出W₁[S₁][S₀]，b₁[S₁]。

(4)輸出層的權值W₂，偏差b₂初始化

1)產生[-1，1]之間均勻分布的S₂×S₁維隨機數矩陣W₂[S₂][S₁]；

2)產生[-1，1]之間均勻分布的S₂×1維隨機數矩陣b₂[S₂]；

3)輸出W₂[S₂][S₁]，b₂[S₂]。

2.應用彈性BP演算法(RPROP)學習三層BP網路(含輸入層，隱含層，輸出層)權值W、偏差b總體演算法

函數：Train3BP_RPROP(S₀，X，P，S₁，W₁，b₁，f₁，S₂，W₂，b₂，f₂，d，TP)

(1)輸入參數

P對模式(x_p，d_p)，p=1，2，…，P；

三層BP網路結構；

學習參數。

(2)學習初始化

1)

；

2)各層W，b的梯度值

，

初始化為零矩陣。

(3)由輸入模式X求第一次學習各層輸出y₀，y₁，y₂及第一次學習平均誤差MSE

(4)進入學習循環

epoch=1

(5)判斷每次學習誤差是否達到目標誤差要求

如果MSE＜ϵ，

則，跳出epoch循環，

轉到(12)。

(6)保存第epoch-1次學習產生的各層W，b的梯度值

，

(7)求第epoch次學習各層W，b的梯度值

，

1)求各層誤差反向傳播值δ；

2)求第p次各層W，b的梯度值

，

；

3)求p=1，2，…，P次模式產生的W，b的梯度值

，

的累加。

(8)如果epoch=1，則將第epoch-1次學習的各層W，b的梯度值

，

設為第epoch次學習產生的各層W，b的梯度值

，

。

(9)求各層W，b的更新

1)求權更新值Δ_ij更新；

2)求W，b的權更新值

，

；

3)求第epoch次學習修正後的各層W，b。

(10)用修正後各層W、b，由X求第epoch次學習各層輸出y₀，y₁，y₂及第epoch次學習誤差MSE

(11)epoch=epoch+1，

如果epoch≤MAX_EPOCH，轉到(5)；

否則，轉到(12)。

(12)輸出處理

1)如果MSE＜ε，

則學習達到目標誤差要求，輸出W₁，b₁，W₂，b₂。

2)如果MSE≥ε，

則學習沒有達到目標誤差要求，再次學習。

(13)結束

3.三層BP網路(含輸入層，隱含層，輸出層)預測總體演算法

首先應用Train3lBP_RPROP( )學習三層BP網路(含輸入層，隱含層，輸出層)權值W、偏差b，然後應用三層BP網路(含輸入層，隱含層，輸出層)預測。

函數：Simu3lBP( )。

1)輸入參數：

P個需預測的輸入數據向量x_p，p=1，2，…，P；

三層BP網路結構；

學習得到的各層權值W、偏差b。

2)計算P個需預測的輸入數據向量x_p(p=1，2，…，P)的網路輸出 y₂[S₂][P]，輸出預測結果y₂[S₂][P]。

四、總體演算法流程圖

BP網路總體演算法流程圖見附圖2。

五、數據流圖

BP網數據流圖見附圖1。

六、實例

實例一 全國銅礦化探異常數據BP 模型分類

1.全國銅礦化探異常數據准備

在全國銅礦化探數據上用穩健統計學方法選取銅異常下限值33.1，生成全國銅礦化探異常數據。

2.模型數據准備

根據全國銅礦化探異常數據，選取7類33個礦點的化探數據作為模型數據。這7類分別是岩漿岩型銅礦、斑岩型銅礦、矽卡岩型、海相火山型銅礦、陸相火山型銅礦、受變質型銅礦、海相沉積型銅礦，另添加了一類沒有銅異常的模型(表8-1)。

3.測試數據准備

全國化探數據作為測試數據集。

4.BP網路結構

隱層數2，輸入層到輸出層向量維數分別為14，9、5、1。學習率設置為0.9，系統誤差1e-5。沒有動量項。

表8-1 模型數據表

續表

5.計算結果圖

如圖8-2、圖8-3。

圖8-2

圖8-3 全國銅礦礦床類型BP模型分類示意圖

實例二 全國金礦礦石量品位數據BP 模型分類

1.模型數據准備

根據全國金礦儲量品位數據，選取4類34個礦床數據作為模型數據，這4類分別是綠岩型金礦、與中酸性浸入岩有關的熱液型金礦、微細浸染型型金礦、火山熱液型金礦(表8-2)。

2.測試數據准備

模型樣本點和部分金礦點金屬量、礦石量、品位數據作為測試數據集。

3.BP網路結構

輸入層為三維，隱層1層，隱層為三維，輸出層為四維，學習率設置為0.8，系統誤差1e-4，迭代次數5000。

表8-2 模型數據

4.計算結果

結果見表8-3、8-4。

表8-3 訓練學習結果

表8-4 預測結果(部分)

續表

❼ BP神經網路

神經網路能很好地解決不同的機器學習問題。神經網路模型是許多邏輯單元按照不同層級組織起來的網路，每一層的輸出變數都是下一層的輸入變數。

上圖顯示了人工神經網路是一個分層模型，邏輯上可以分為三層：

輸入層 ：輸入層接收特徵向量 x

輸出層 ：輸出層產出最終的預測 h

隱含層 ：隱含層介於輸入層與輸出層之間，之所以稱之為隱含層，是因為當中產生的值並不像輸入層使用的樣本矩陣 X或者輸出層用到的標簽矩陣 y 那樣直接可見。

下面引入一些標記法來幫助描述模型：

!$ a^{(j)}_{i} $ 代表第j層的第i個激活單元。 !$ heta^{(j)} $ 代表從第 j 層映射到第 j+1 層時的權重的矩陣，例如 !$ heta^{(1)} $ 代表從第一層映射到第二層的權重的矩陣。其尺寸為：以第 j+1層的激活單元數量為行數，以第 j 層的激活單元數加一為列數的矩陣。例如：上圖所示的神經網路中 !$ heta^{(1)} $ 的尺寸為 3*4。

對於上圖所示的模型，激活單元和輸出分別表達為：

!$ a^{(2)}_{1} = g( heta^{(1)}_{10}x_0 + heta^{(1)}_{11}x_1 + heta^{(1)}_{12}x_2 + heta^{(1)}_{13}x_3 ) $

!$a^{(2)}_{2} = g( heta^{(1)}_{20}x_0 + heta^{(1)}_{21}x_1 + heta^{(1)}_{22}x_2 + heta^{(1)}_{23}x_3 ) $

!$a^{(2)}_{3} = g( heta^{(1)}_{30}x_0 + heta^{(1)}_{31}x_1 + heta^{(1)}_{32}x_2 + heta^{(1)}_{33}x_3 ) $

!$h_{ heta}{(x)} = g( heta^{(2)}_{10}a^{2}_{0} + heta^{(2)}_{11}a^{2}_{1} + heta^{(2)}_{12}a^{2}_{2} + heta^{(2)}_{13}a^{2}_{3} ) $

下面用向量化的方法以上面的神經網路為例，試著計算第二層的值：

對於多類分類問題來說:

我們可將神經網路的分類定義為兩種情況:二類分類和多類分類。

二類分類： !$ S_{L} = 0,y = 0,y = 1$

多類分類： !$ S_{L} = k, y_{i} = 1表示分到第i類；(k>2)$

在神經網路中，我們可以有很多輸出變數，我們的 !$h_{ heta}{(x)} $ 是一個維度為K的向量，並且我們訓練集中的因變數也是同樣維度的一個向量，因此我們的代價函數會比邏輯回歸更加復雜一些，為： !$ h_{ heta}{(x)} in R^{K}(h_{ heta}{(x)})_{i} = i^{th} output$

我們希望通過代價函數來觀察演算法預測的結果與真實情況的誤差有多大，唯一不同的是，對於每一行特徵，我們都會給出K個預測，基本上我們可以利用循環，對每一行特徵都預測K個不同結果，然後在利用循環在K個預測中選擇可能性最高的一個，將其與y中的實際數據進行比較。

正則化的那一項只是排除了每一層 !$ heta_0$ 後，每一層的 矩陣的和。最里層的循環j循環所有的行（由 +1 層的激活單元數決定），循環i則循環所有的列，由該層（ !$ s_l$ 層）的激活單元數所決定。即： !$h_{ heta}{(x)}$ 與真實值之間的距離為每個樣本-每個類輸出的加和，對參數進行 regularization 的 bias 項處理所有參數的平方和。

由於神經網路允許多個隱含層，即各層的神經元都會產出預測，因此，就不能直接利用傳統回歸問題的梯度下降法來最小化 !$J( heta)$ ，而需要逐層考慮預測誤差，並且逐層優化。為此，在多層神經網路中，使用反向傳播演算法（Backpropagation Algorithm）來優化預測，首先定義各層的預測誤差為向量 !$ δ^{(l)} $

訓練過程：

當我們對一個較為復雜的模型（例如神經網路）使用梯度下降演算法時，可能會存在一些不容易察覺的錯誤，意味著，雖然代價看上去在不斷減小，但最終的結果可能並不是最優解。

為了避免這樣的問題，我們採取一種叫做梯度的數值檢驗（ Numerical Gradient Checking ）方法。這種方法的思想是通過估計梯度值來檢驗我們計算的導數值是否真的是我們要求的。

對梯度的估計採用的方法是在代價函數上沿著切線的方向選擇離兩個非常近的點然後計算兩個點的平均值用以估計梯度。即對於某個特定的 ，我們計算出在 !$ heta - epsilon$ 處和 !$ heta + epsilon$ 的代價值（是一個非常小的值，通常選取 0.001），然後求兩個代價的平均，用以估計在 !$ heta$ 處的代價值。

當 !$ heta$ 是一個向量時，我們則需要對偏導數進行檢驗。因為代價函數的偏導數檢驗只針對一個參數的改變進行檢驗，下面是一個只針對 !$ heta_1$ 進行檢驗的示例：

如果上式成立，則證明網路中BP演算法有效，此時關閉梯度校驗演算法（因為梯度的近似計算效率很慢），繼續網路的訓練過程。